Resolver 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Fatorizar

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Passos Para a Resolução

Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 15x^{2}+ax+bx-16. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -8.

$$a=-20 b=12$$

Reescreva 15x^{2}-8x-16 como \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Fator out 5x no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Calcule o quadrado de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Multiplique -4 vezes 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Multiplique -60 vezes -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Some 64 com 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Calcule a raiz quadrada de 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

O oposto de -8 é 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Multiplique 2 vezes 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{8±32}{30} quando ± for uma adição. Some 8 com 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Reduza a fração \frac{40}{30} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{8±32}{30} quando ± for uma subtração. Subtraia 32 de 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Reduza a fração \frac{-24}{30} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua \frac{4}{3} por x_{1} e -\frac{4}{5} por x_{2}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Simplifique todas as expressões de p-\left(-q\right) para p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Subtraia \frac{4}{3} de x ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Some \frac{4}{5} com x ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Multiplique \frac{3x-4}{3} vezes \frac{5x+4}{5} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Multiplique 3 vezes 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Anule o maior fator comum 15 em 15 e 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

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$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$