Resolver 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 15x^{2}+ax+bx-4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

A solução é o par que devolve a soma 4.

$$a=-6 b=10$$

Reescreva 15x^{2}+4x-4 como \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Fator out 3x no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Decomponha o termo comum 5x-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 5x-2=0 e 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 15 por a, 4 por b e -4 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Calcule o quadrado de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplique -4 vezes 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplique -60 vezes -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Some 16 com 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Calcule a raiz quadrada de 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Multiplique 2 vezes 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4±16}{30} quando ± for uma adição. Some -4 com 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Reduza a fração \frac{12}{30} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4±16}{30} quando ± for uma subtração. Subtraia 16 de -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Reduza a fração \frac{-20}{30} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Some 4 a ambos os lados da equação.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Subtrair -4 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Subtraia -4 de 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Divida ambos os lados por 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Dividir por 15 anula a multiplicação por 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Divida \frac{4}{15}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{2}{15}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{2}{15} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{2}{15}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Some \frac{4}{15} com \frac{4}{225} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Fatorize x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Subtraia \frac{2}{15} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$