Resolver 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx-2300. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

A solução é o par que devolve a soma 200.

$$a=-30 b=230$$

Reescreva 3x^{2}+200x-2300 como \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Fator out 3x no primeiro e 230 no segundo grupo.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Decomponha o termo comum x-10 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-10=0 e 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 120 por a, 8000 por b e -92000 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Calcule o quadrado de 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplique -4 vezes 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplique -480 vezes -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Some 64000000 com 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Calcule a raiz quadrada de 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Multiplique 2 vezes 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-8000±10400}{240} quando ± for uma adição. Some -8000 com 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Divida 2400 por 240.

$$x=10$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-8000±10400}{240} quando ± for uma subtração. Subtraia 10400 de -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Reduza a fração \frac{-18400}{240} para os termos mais baixos ao retirar e anular 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Some 92000 a ambos os lados da equação.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Subtrair -92000 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Subtraia -92000 de 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Divida ambos os lados por 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Dividir por 120 anula a multiplicação por 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Reduza a fração \frac{8000}{120} para os termos mais baixos ao retirar e anular 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Reduza a fração \frac{92000}{120} para os termos mais baixos ao retirar e anular 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Divida \frac{200}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{100}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{100}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{100}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Some \frac{2300}{3} com \frac{10000}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Fatorize x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Subtraia \frac{100}{3} de ambos os lados da equação.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$