Resolver 12t^2-7t-10

$$12 t ^ { 2 } - 7 t - 10$$

Fatorizar

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Passos Para a Resolução

Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 12t^{2}+at+bt-10. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-7 ab=12\left(-10\right)=-120$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

A solução é o par que devolve a soma -7.

$$a=-15 b=8$$

Reescreva 12t^{2}-7t-10 como \left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right).

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right)$$

Fator out 3t no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$3t\left(4t-5\right)+2\left(4t-5\right)$$

Decomponha o termo comum 4t-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$12t^{2}-7t-10=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Calcule o quadrado de -7.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Multiplique -4 vezes 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Multiplique -48 vezes -10.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 12}$$

Some 49 com 480.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

Calcule a raiz quadrada de 529.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 12}$$

O oposto de -7 é 7.

$$t=\frac{7±23}{2\times 12}$$

Multiplique 2 vezes 12.

$$t=\frac{7±23}{24}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{7±23}{24} quando ± for uma adição. Some 7 com 23.

$$t=\frac{30}{24}$$

Reduza a fração \frac{30}{24} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$t=\frac{5}{4}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{7±23}{24} quando ± for uma subtração. Subtraia 23 de 7.

$$t=-\frac{16}{24}$$

Reduza a fração \frac{-16}{24} para os termos mais baixos ao retirar e anular 8.

$$t=-\frac{2}{3}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua \frac{5}{4} por x_{1} e -\frac{2}{3} por x_{2}.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Simplifique todas as expressões de p-\left(-q\right) para p+q.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Subtraia \frac{5}{4} de t ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Some \frac{2}{3} com t ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\times \frac{3t+2}{3}$$

Multiplique \frac{4t-5}{4} vezes \frac{3t+2}{3} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{4\times 3}$$

Multiplique 4 vezes 3.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{12}$$

Anule o maior fator comum 12 em 12 e 12.

$$12t^{2}-7t-10=\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Avaliar

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$