Resolver 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Resolva para n

$$n=6$$

$$n=15$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 12 por n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Subtraia 30 de -48 para obter -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Subtraia n^{2} de ambos os lados.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Adicionar 9n em ambos os lados.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combine 12n e 9n para obter 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Subtraia 12 de ambos os lados.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Subtraia 12 de -78 para obter -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -n^{2}+an+bn-90. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

A solução é o par que devolve a soma 21.

$$a=15 b=6$$

Reescreva -n^{2}+21n-90 como \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Fator out -n no primeiro e 6 no segundo grupo.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Decomponha o termo comum n-15 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva n-15=0 e -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 12 por n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Subtraia 30 de -48 para obter -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Subtraia n^{2} de ambos os lados.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Adicionar 9n em ambos os lados.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combine 12n e 9n para obter 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Subtraia 12 de ambos os lados.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Subtraia 12 de -78 para obter -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 21 por b e -90 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 21.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Some 441 com -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{-21±9}{-2} quando ± for uma adição. Some -21 com 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Divida -12 por -2.

$$n=6$$

Agora, resolva a equação n=\frac{-21±9}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 9 de -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Divida -30 por -2.

$$n=15$$

A equação está resolvida.

$$n=6 n=15$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 12 por n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Subtraia 30 de -48 para obter -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Subtraia n^{2} de ambos os lados.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Adicionar 9n em ambos os lados.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combine 12n e 9n para obter 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Adicionar 78 em ambos os lados.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Some 12 e 78 para obter 90.

$$21n-n^{2}=90$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Divida 21 por -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Divida 90 por -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Divida -21, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{21}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{21}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{21}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Some -90 com \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Fatorize n^{2}-21n+\frac{441}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplifique.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Some \frac{21}{2} a ambos os lados da equação.

$$n=15 n=6$$