Resolver 12x^2-102x+160=0

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Resolva para x

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6,424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2,075335275$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 12 por a, -102 por b e 160 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Calcule o quadrado de -102.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Multiplique -4 vezes 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Multiplique -48 vezes 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Some 10404 com -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Calcule a raiz quadrada de 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

O oposto de -102 é 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Multiplique 2 vezes 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} quando ± for uma adição. Some 102 com 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

Divida 102+2\sqrt{681} por 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} quando ± for uma subtração. Subtraia 2\sqrt{681} de 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

Divida 102-2\sqrt{681} por 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Subtraia 160 de ambos os lados da equação.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

Subtrair 160 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Divida ambos os lados por 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

Dividir por 12 anula a multiplicação por 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

Reduza a fração \frac{-102}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

Reduza a fração \frac{-160}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Divida -\frac{17}{2}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{17}{4}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{17}{4} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{17}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

Some -\frac{40}{3} com \frac{289}{16} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

Fatorize x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Some \frac{17}{4} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$