Resolver 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 12x^{2}+ax+bx+5. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

A solução é o par que devolve a soma 32.

$$a=2 b=30$$

Reescreva 12x^{2}+32x+5 como \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Decomponha 2x no primeiro grupo e 5 no segundo.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Decomponha o termo comum 6x+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione 6x+1=0 e 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 12 por a, 32 por b e 5 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Calcule o quadrado de 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplique -4 vezes 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplique -48 vezes 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Some 1024 com -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Calcule a raiz quadrada de 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Multiplique 2 vezes 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-32±28}{24} quando ± for uma adição. Some -32 com 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Reduza a fração \frac{-4}{24} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-32±28}{24} quando ± for uma subtração. Subtraia 28 de -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Reduza a fração \frac{-60}{24} para os termos mais baixos ao retirar e anular 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Subtraia 5 de ambos os lados da equação.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Subtrair 5 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Divida ambos os lados por 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Dividir por 12 anula a multiplicação por 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Reduza a fração \frac{32}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Divida \frac{8}{3}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter \frac{4}{3}. Em seguida, some o quadrado de \frac{4}{3} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{4}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Some -\frac{5}{12} com \frac{16}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Fatorize x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Subtraia \frac{4}{3} de ambos os lados da equação.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$