Resolver 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Resolva para y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 3y^{2} de ambos os lados.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Adicionar 4 em ambos os lados.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -3y^{2}+ay+by+4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

A solução é o par que devolve a soma 11.

$$a=12 b=-1$$

Reescreva -3y^{2}+11y+4 como \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Decomponha 3y em -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Decomponha o termo comum -y+4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -y+4=0 e 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Subtraia 3y^{2} de ambos os lados.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Adicionar 4 em ambos os lados.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -3 por a, 11 por b e 4 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule o quadrado de 11.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique -4 vezes -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 12 vezes 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Some 121 com 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 2 vezes -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-11±13}{-6} quando ± for uma adição. Some -11 com 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Reduza a fração \frac{2}{-6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-11±13}{-6} quando ± for uma subtração. Subtraia 13 de -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Divida -24 por -6.

$$y=4$$

A equação está resolvida.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Passos Para Completar o Quadrado

Subtraia 3y^{2} de ambos os lados.

$$11y-3y^{2}=-4$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Divida ambos os lados por -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Dividir por -3 anula a multiplicação por -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Divida 11 por -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Divida -4 por -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Divida -\frac{11}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{11}{6}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{11}{6} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{11}{6}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Some \frac{4}{3} com \frac{121}{36} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Fatorize y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifique.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Some \frac{11}{6} a ambos os lados da equação.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$