Resolver 1000x^2-590x-561=0

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{51}{100}=-0,51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1,1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 1000x^{2}+ax+bx-561. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -561000.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

A solução é o par que devolve a soma -590.

$$a=-1100 b=510$$

Reescreva 1000x^{2}-590x-561 como \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right).

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

Decomponha 100x no primeiro grupo e 51 no segundo.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

Decomponha o termo comum 10x-11 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione 10x-11=0 e 100x+51=0.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1000 por a, -590 por b e -561 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Calcule o quadrado de -590.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Multiplique -4 vezes 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Multiplique -4000 vezes -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

Some 348100 com 2244000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

Calcule a raiz quadrada de 2592100.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

O oposto de -590 é 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

Multiplique 2 vezes 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{590±1610}{2000} quando ± for uma adição. Some 590 com 1610.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

Reduza a fração \frac{2200}{2000} para os termos mais baixos ao retirar e anular 200.

$$x=\frac{11}{10}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{590±1610}{2000} quando ± for uma subtração. Subtraia 1610 de 590.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

Reduza a fração \frac{-1020}{2000} para os termos mais baixos ao retirar e anular 20.

$$x=-\frac{51}{100}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Some 561 a ambos os lados da equação.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

Subtrair -561 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

Subtraia -561 de 0.

$$1000x^{2}-590x=561$$

Divida ambos os lados por 1000.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

Dividir por 1000 anula a multiplicação por 1000.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

Reduza a fração \frac{-590}{1000} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

Divida -\frac{59}{100}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{59}{200}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{59}{200} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{59}{200}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

Some \frac{561}{1000} com \frac{3481}{40000} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

Fatorize x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

Some \frac{59}{200} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$