Resolver 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 10x^{2}+ax+bx-12. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

A solução é o par que devolve a soma 7.

$$a=-8 b=15$$

Reescreva 10x^{2}+7x-12 como \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Decomponha o termo comum 5x-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 5x-4=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 10 por a, 7 por b e -12 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Calcule o quadrado de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplique -4 vezes 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplique -40 vezes -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Some 49 com 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Calcule a raiz quadrada de 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Multiplique 2 vezes 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±23}{20} quando ± for uma adição. Some -7 com 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Reduza a fração \frac{16}{20} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±23}{20} quando ± for uma subtração. Subtraia 23 de -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Reduza a fração \frac{-30}{20} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Some 12 a ambos os lados da equação.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Subtrair -12 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Subtraia -12 de 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Divida ambos os lados por 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Dividir por 10 anula a multiplicação por 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Reduza a fração \frac{12}{10} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Divida \frac{7}{10}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{7}{20}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{7}{20} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{7}{20}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Some \frac{6}{5} com \frac{49}{400} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Fatorize x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Subtraia \frac{7}{20} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$