Resolver 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Resolva para k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 10k^{2}+ak+bk-1. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

A solução é o par que devolve a soma 9.

$$a=-1 b=10$$

Reescreva 10k^{2}+9k-1 como \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Decomponha k em 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Decomponha o termo comum 10k-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 10k-1=0 e k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 10 por a, 9 por b e -1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Calcule o quadrado de 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplique -4 vezes 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplique -40 vezes -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Some 81 com 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Calcule a raiz quadrada de 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Multiplique 2 vezes 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Agora, resolva a equação k=\frac{-9±11}{20} quando ± for uma adição. Some -9 com 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Reduza a fração \frac{2}{20} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Agora, resolva a equação k=\frac{-9±11}{20} quando ± for uma subtração. Subtraia 11 de -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Divida -20 por 20.

$$k=-1$$

A equação está resolvida.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Some 1 a ambos os lados da equação.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtrair -1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Subtraia -1 de 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Divida ambos os lados por 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Dividir por 10 anula a multiplicação por 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Divida \frac{9}{10}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{9}{20}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{9}{20} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{9}{20}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Some \frac{1}{10} com \frac{81}{400} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Fatorize k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Simplifique.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Subtraia \frac{9}{20} de ambos os lados da equação.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$