Resolver -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Resolva para x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -4 por a, 20 por b e -47 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Calcule o quadrado de 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplique -4 vezes -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplique 16 vezes -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Some 400 com -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplique 2 vezes -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} quando ± for uma adição. Some -20 com 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Divida -20+4i\sqrt{22} por -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} quando ± for uma subtração. Subtraia 4i\sqrt{22} de -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Divida -20-4i\sqrt{22} por -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Some 47 a ambos os lados da equação.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Subtrair -47 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Subtraia -47 de 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Divida ambos os lados por -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Dividir por -4 anula a multiplicação por -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Divida 20 por -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Divida 47 por -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Divida -5, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{5}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{5}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{5}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Some -\frac{47}{4} com \frac{25}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Fatorize x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Some \frac{5}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$