Resolver -2x^2+20x=48

$$-2 { x }^{ 2 } +20x=48$$

Resolva para x

$$x=4$$

$$x=6$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 48 de ambos os lados.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Divida ambos os lados por 2.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx-24. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

A solução é o par que devolve a soma 10.

$$a=6 b=4$$

Reescreva -x^{2}+10x-24 como \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

Fator out -x no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

Decomponha o termo comum x-6 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-6=0 e -x+4=0.

$$x=6 x=4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Subtraia 48 de ambos os lados da equação.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

Subtrair 48 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -2 por a, 20 por b e -48 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule o quadrado de 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique -4 vezes -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 8 vezes -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

Some 400 com -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 16.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 2 vezes -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-20±4}{-4} quando ± for uma adição. Some -20 com 4.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Divida -16 por -4.

$$x=4$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-20±4}{-4} quando ± for uma subtração. Subtraia 4 de -20.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Divida -24 por -4.

$$x=6$$

A equação está resolvida.

$$x=4 x=6$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Divida ambos os lados por -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

Dividir por -2 anula a multiplicação por -2.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

Divida 20 por -2.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

Divida 48 por -2.

$$x^{2}-10x=-24$$

Divida -10, o coeficiente do termo x, 2 para obter -5. Em seguida, adicione o quadrado de -5 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -5.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

Some -24 com 25.

$$x^{2}-10x+25=1$$

Fatorize x^{2}-10x+25. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifique.

$$x-5=1 x-5=-1$$

Some 5 a ambos os lados da equação.

$$x=6 x=4$$