Resolver -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Resolva para x

$$x=4$$

$$x=13$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx-52. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

A solução é o par que devolve a soma 17.

$$a=13 b=4$$

Reescreva -x^{2}+17x-52 como \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Fator out -x no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Decomponha o termo comum x-13 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-13=0 e -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -3 por a, 51 por b e -156 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule o quadrado de 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique -4 vezes -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 12 vezes -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Some 2601 com -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 2 vezes -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-51±27}{-6} quando ± for uma adição. Some -51 com 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Divida -24 por -6.

$$x=4$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-51±27}{-6} quando ± for uma subtração. Subtraia 27 de -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Divida -78 por -6.

$$x=13$$

A equação está resolvida.

$$x=4 x=13$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Some 156 a ambos os lados da equação.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Subtrair -156 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Subtraia -156 de 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Divida ambos os lados por -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Dividir por -3 anula a multiplicação por -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Divida 51 por -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Divida 156 por -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Divida -17, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{17}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{17}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{17}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Some -52 com \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Fatorize x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Some \frac{17}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=13 x=4$$