Resolver -3t^2+40t+128=0

$$- 3 t ^ { 2 } + 40 t + 128 = 0$$

Resolva para t

$$t=16$$

$$t = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -3t^{2}+at+bt+128. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=40 ab=-3\times 128=-384$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -384.

$$-1,384 -2,192 -3,128 -4,96 -6,64 -8,48 -12,32 -16,24$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+384=383 -2+192=190 -3+128=125 -4+96=92 -6+64=58 -8+48=40 -12+32=20 -16+24=8$$

A solução é o par que devolve a soma 40.

$$a=48 b=-8$$

Reescreva -3t^{2}+40t+128 como \left(-3t^{2}+48t\right)+\left(-8t+128\right).

$$\left(-3t^{2}+48t\right)+\left(-8t+128\right)$$

Fator out 3t no primeiro e 8 no segundo grupo.

$$3t\left(-t+16\right)+8\left(-t+16\right)$$

Decomponha o termo comum -t+16 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-t+16\right)\left(3t+8\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -t+16=0 e 3t+8=0.

$$t=16 t=-\frac{8}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-3t^{2}+40t+128=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -3 por a, 40 por b e 128 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule o quadrado de 40.

$$t=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique -4 vezes -3.

$$t=\frac{-40±\sqrt{1600+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 12 vezes 128.

$$t=\frac{-40±\sqrt{1600+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Some 1600 com 1536.

$$t=\frac{-40±\sqrt{3136}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 3136.

$$t=\frac{-40±56}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 2 vezes -3.

$$t=\frac{-40±56}{-6}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-40±56}{-6} quando ± for uma adição. Some -40 com 56.

$$t=\frac{16}{-6}$$

Reduza a fração \frac{16}{-6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$t=-\frac{8}{3}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-40±56}{-6} quando ± for uma subtração. Subtraia 56 de -40.

$$t=-\frac{96}{-6}$$

Divida -96 por -6.

$$t=16$$

A equação está resolvida.

$$t=-\frac{8}{3} t=16$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-3t^{2}+40t+128=0$$

Subtraia 128 de ambos os lados da equação.

$$-3t^{2}+40t+128-128=-128$$

Subtrair 128 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$-3t^{2}+40t=-128$$

Divida ambos os lados por -3.

$$\frac{-3t^{2}+40t}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Dividir por -3 anula a multiplicação por -3.

$$t^{2}+\frac{40}{-3}t=-\frac{128}{-3}$$

Divida 40 por -3.

$$t^{2}-\frac{40}{3}t=-\frac{128}{-3}$$

Divida -128 por -3.

$$t^{2}-\frac{40}{3}t=\frac{128}{3}$$

Divida -\frac{40}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{20}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{20}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-\frac{40}{3}t+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{20}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}-\frac{40}{3}t+\frac{400}{9}=\frac{128}{3}+\frac{400}{9}$$

Some \frac{128}{3} com \frac{400}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$t^{2}-\frac{40}{3}t+\frac{400}{9}=\frac{784}{9}$$

Fatorize t^{2}-\frac{40}{3}t+\frac{400}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{784}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{784}{9}}$$

Simplifique.

$$t-\frac{20}{3}=\frac{28}{3} t-\frac{20}{3}=-\frac{28}{3}$$

Some \frac{20}{3} a ambos os lados da equação.

$$t=16 t=-\frac{8}{3}$$