Resolver -2x^2-7x=-15

$$- 2 x ^ { 2 } - 7 x = - 15$$

Resolva para x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$x=-5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Adicionar 15 em ambos os lados.

$$-2x^{2}-7x+15=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -2x^{2}+ax+bx+15. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-7 ab=-2\times 15=-30$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -7.

$$a=3 b=-10$$

Reescreva -2x^{2}-7x+15 como \left(-2x^{2}+3x\right)+\left(-10x+15\right).

$$\left(-2x^{2}+3x\right)+\left(-10x+15\right)$$

Fator out -x no primeiro e -5 no segundo grupo.

$$-x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(-x-5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2x-3=0 e -x-5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-2x^{2}-7x=-15$$

Some 15 a ambos os lados da equação.

$$-2x^{2}-7x-\left(-15\right)=-15-\left(-15\right)$$

Subtrair -15 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$-2x^{2}-7x-\left(-15\right)=0$$

Subtraia -15 de 0.

$$-2x^{2}-7x+15=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -2 por a, -7 por b e 15 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule o quadrado de -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique -4 vezes -2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 8 vezes 15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\left(-2\right)}$$

Some 49 com 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\left(-2\right)}$$

O oposto de -7 é 7.

$$x=\frac{7±13}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 2 vezes -2.

$$x=\frac{7±13}{-4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{7±13}{-4} quando ± for uma adição. Some 7 com 13.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Divida 20 por -4.

$$x=-5$$

Agora, resolva a equação x=\frac{7±13}{-4} quando ± for uma subtração. Subtraia 13 de 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Reduza a fração \frac{-6}{-4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=-5 x=\frac{3}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-7x=-15$$

Divida ambos os lados por -2.

$$\frac{-2x^{2}-7x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

Dividir por -2 anula a multiplicação por -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-2}\right)x=-\frac{15}{-2}$$

Divida -7 por -2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{15}{-2}$$

Divida -15 por -2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Divida \frac{7}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{7}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{7}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{7}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Some \frac{15}{2} com \frac{49}{16} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Fatorize x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Subtraia \frac{7}{4} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$