Resolver -2x^2+47x+5=275

$$- 2 x ^ { 2 } + 47 x + 5 = 275$$

Resolva para x

$$x=10$$

$$x = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2} = 13,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 275 de ambos os lados.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

Subtraia 275 de 5 para obter -270.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -2x^{2}+ax+bx-270. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=47 ab=-2\left(-270\right)=540$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 540.

$$1,540 2,270 3,180 4,135 5,108 6,90 9,60 10,54 12,45 15,36 18,30 20,27$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+540=541 2+270=272 3+180=183 4+135=139 5+108=113 6+90=96 9+60=69 10+54=64 12+45=57 15+36=51 18+30=48 20+27=47$$

A solução é o par que devolve a soma 47.

$$a=27 b=20$$

Reescreva -2x^{2}+47x-270 como \left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right).

$$\left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right)$$

Fator out -x no primeiro e 10 no segundo grupo.

$$-x\left(2x-27\right)+10\left(2x-27\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-27 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-27\right)\left(-x+10\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2x-27=0 e -x+10=0.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

Subtraia 275 de ambos os lados da equação.

$$-2x^{2}+47x+5-275=275-275$$

Subtrair 275 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

Subtraia 275 de 5.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -2 por a, 47 por b e -270 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule o quadrado de 47.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique -4 vezes -2.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209+8\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 8 vezes -270.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-2160}}{2\left(-2\right)}$$

Some 2209 com -2160.

$$x=\frac{-47±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 49.

$$x=\frac{-47±7}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 2 vezes -2.

$$x=\frac{-47±7}{-4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-47±7}{-4} quando ± for uma adição. Some -47 com 7.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

Divida -40 por -4.

$$x=10$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-47±7}{-4} quando ± for uma subtração. Subtraia 7 de -47.

$$x=-\frac{54}{-4}$$

Reduza a fração \frac{-54}{-4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{27}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=10 x=\frac{27}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

Subtraia 5 de ambos os lados da equação.

$$-2x^{2}+47x+5-5=275-5$$

Subtrair 5 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$-2x^{2}+47x=275-5$$

Subtraia 5 de 275.

$$-2x^{2}+47x=270$$

Divida ambos os lados por -2.

$$\frac{-2x^{2}+47x}{-2}=\frac{270}{-2}$$

Dividir por -2 anula a multiplicação por -2.

$$x^{2}+\frac{47}{-2}x=\frac{270}{-2}$$

Divida 47 por -2.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=\frac{270}{-2}$$

Divida 270 por -2.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=-135$$

Divida -\frac{47}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{47}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{47}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}=-135+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{47}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=-135+\frac{2209}{16}$$

Some -135 com \frac{2209}{16}.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=\frac{49}{16}$$

Fatorize x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{47}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{47}{4}=-\frac{7}{4}$$

Some \frac{47}{4} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$