Resolver -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Fatorizar

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Passos Para a Resolução

Decomponha 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Considere -4t^{2}+24t-27. Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como -4t^{2}+at+bt-27. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

A solução é o par que devolve a soma 24.

$$a=18 b=6$$

Reescreva -4t^{2}+24t-27 como \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Fator out -2t no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Decomponha o termo comum 2t-9 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Reescreva a expressão fatorizada completa.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Calcule o quadrado de 96.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique -4 vezes -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique 64 vezes -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Some 9216 com -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique 2 vezes -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-96±48}{-32} quando ± for uma adição. Some -96 com 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Reduza a fração \frac{-48}{-32} para os termos mais baixos ao retirar e anular 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-96±48}{-32} quando ± for uma subtração. Subtraia 48 de -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Reduza a fração \frac{-144}{-32} para os termos mais baixos ao retirar e anular 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua \frac{3}{2} por x_{1} e \frac{9}{2} por x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Subtraia \frac{3}{2} de t ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Subtraia \frac{9}{2} de t ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Multiplique \frac{-2t+3}{-2} vezes \frac{-2t+9}{-2} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Multiplique -2 vezes -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Anule o maior fator comum 4 em -16 e 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Avaliar

$$-16t^{2}+96t-108$$