Resolver -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Resolva para t

$$t=1$$

$$t=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 128 de ambos os lados.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Subtraia 128 de 80 para obter -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Divida ambos os lados por 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -t^{2}+at+bt-3. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. O único par é a solução do sistema.

$$a=3 b=1$$

Reescreva -t^{2}+4t-3 como \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Decomponha -t em -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Decomponha o termo comum t-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva t-3=0 e -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Subtraia 128 de ambos os lados da equação.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Subtrair 128 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Subtraia 128 de 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -16 por a, 64 por b e -48 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Calcule o quadrado de 64.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique -4 vezes -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique 64 vezes -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Some 4096 com -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique 2 vezes -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-64±32}{-32} quando ± for uma adição. Some -64 com 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Divida -32 por -32.

$$t=1$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-64±32}{-32} quando ± for uma subtração. Subtraia 32 de -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Divida -96 por -32.

$$t=3$$

A equação está resolvida.

$$t=1 t=3$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Subtraia 80 de ambos os lados da equação.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Subtrair 80 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Subtraia 80 de 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Divida ambos os lados por -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Dividir por -16 anula a multiplicação por -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Divida 64 por -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Divida 48 por -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Divida -4, o coeficiente do termo x, 2 para obter -2. Em seguida, adicione o quadrado de -2 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Some -3 com 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Fatorize t^{2}-4t+4. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifique.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$t=3 t=1$$