Resolver -1/3(x+2)(x-1/3)>0

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Resolver o valor x

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -\frac{1}{3} por x+2.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} por x-\frac{1}{3} e combinar termos semelhantes.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Multiplique a desigualdade por -1 para transformar o coeficiente da potência mais elevada em -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9} positivo. Uma vez que -1 é negativo, a direção da desigualdade é alterada.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua \frac{1}{3} por a, \frac{5}{9} por b e -\frac{2}{9} por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Resolva a equação x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

Para que o produto seja negativo, x-\frac{1}{3} e x+2 têm de ser dos sinais opostos. Consideremos o caso em que x-\frac{1}{3} é positivo e x+2 é negativo.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Isto é falso para qualquer valor x.

$$x\in \emptyset$$

Consideremos o caso em que x+2 é positivo e x-\frac{1}{3} é negativo.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$