Resolver (y-4)^2=2y^2-11y-12

$$( y - 4 ) ^ { 2 } = 2 y ^ { 2 } - 11 y - 12$$

Resolva para y

$$y=-4$$

$$y=7$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Subtraia 2y^{2} de ambos os lados.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Combine y^{2} e -2y^{2} para obter -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Adicionar 11y em ambos os lados.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Combine -8y e 11y para obter 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Adicionar 12 em ambos os lados.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Some 16 e 12 para obter 28.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -y^{2}+ay+by+28. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=3 ab=-28=-28$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

A solução é o par que devolve a soma 3.

$$a=7 b=-4$$

Reescreva -y^{2}+3y+28 como \left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right)$$

Fator out -y no primeiro e -4 no segundo grupo.

$$-y\left(y-7\right)-4\left(y-7\right)$$

Decomponha o termo comum y-7 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(y-7\right)\left(-y-4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-7=0 e -y-4=0.

$$y=7 y=-4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Subtraia 2y^{2} de ambos os lados.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Combine y^{2} e -2y^{2} para obter -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Adicionar 11y em ambos os lados.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Combine -8y e 11y para obter 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Adicionar 12 em ambos os lados.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Some 16 e 12 para obter 28.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 3 por b e 28 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 3.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 28.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-1\right)}$$

Some 9 com 112.

$$y=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 121.

$$y=\frac{-3±11}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$y=\frac{-3±11}{-2}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-3±11}{-2} quando ± for uma adição. Some -3 com 11.

$$y=\frac{8}{-2}$$

Divida 8 por -2.

$$y=-4$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-3±11}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 11 de -3.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

Divida -14 por -2.

$$y=7$$

A equação está resolvida.

$$y=-4 y=7$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Subtraia 2y^{2} de ambos os lados.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Combine y^{2} e -2y^{2} para obter -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Adicionar 11y em ambos os lados.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Combine -8y e 11y para obter 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Subtraia 16 de ambos os lados.

$$-y^{2}+3y=-12-16$$

Subtraia 16 de -12 para obter -28.

$$-y^{2}+3y=-28$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{28}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{28}{-1}$$

Divida 3 por -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{28}{-1}$$

Divida -28 por -1.

$$y^{2}-3y=28$$

Divida -3, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{3}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{3}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Some 28 com \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Fatorize y^{2}-3y+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplifique.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Some \frac{3}{2} a ambos os lados da equação.

$$y=7 y=-4$$