Resolver (y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0

$$( y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) d x + \frac { 1 } { 4 } ( x + x y ^ { 2 } ) d y = 0$$

Resolva para d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }y=\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}-3x^{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}+3x^{2}}\right)\end{matrix}\right,$$

Passos Para Resolver Uma Equação Linear

Multiplicar ambos os lados da equação por 12, o mínimo múltiplo comum de 3,2,4.

$$12\left(y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. O mínimo múltiplo comum de 3 e 2 é 6. Multiplique \frac{y^{3}}{3} vezes \frac{2}{2}. Multiplique \frac{x^{2}}{2} vezes \frac{3}{3}.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}}{6}+\frac{3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Uma vez que \frac{2y^{3}}{6} e \frac{3x^{2}}{6} têm o mesmo denominador, some-os ao somar os respetivos numeradores.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 12 por y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}.

$$\left(12y+12\times \frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Anule o maior fator comum 6 em 12 e 6.

$$\left(12y+2\left(2y^{3}+3x^{2}\right)\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por 2y^{3}+3x^{2}.

$$\left(12y+4y^{3}+6x^{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 12y+4y^{3}+6x^{2} por d.

$$\left(12yd+4y^{3}d+6x^{2}d\right)x+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 12yd+4y^{3}d+6x^{2}d por x.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3 por x+xy^{2}.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3x+3xy^{2}\right)dy=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3x+3xy^{2} por d.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3xd+3xy^{2}d\right)y=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3xd+3xy^{2}d por y.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy+3xdy^{3}=0$$

Combine 12ydx e 3xdy para obter 15ydx.

$$15ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy^{3}=0$$

Combine 4y^{3}dx e 3xdy^{3} para obter 7y^{3}dx.

$$15ydx+7y^{3}dx+6dx^{3}=0$$

Combine todos os termos que contenham d.

$$\left(15yx+7y^{3}x+6x^{3}\right)d=0$$

A equação está no formato padrão.

$$\left(6x^{3}+7xy^{3}+15xy\right)d=0$$

Divida 0 por 15yx+7y^{3}x+6x^{3}.

$$d=0$$

Resolva para x

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{; }x=-\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{, }&y\leq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right,$$