Resolver (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Resolver o valor x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Passos Para a Resolução

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, -6 por b e 7 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Resolva a equação x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Para que o produto seja negativo, x-\left(\sqrt{2}+3\right) e x-\left(3-\sqrt{2}\right) têm de ser dos sinais opostos. Consideremos o caso em que x-\left(\sqrt{2}+3\right) é positivo e x-\left(3-\sqrt{2}\right) é negativo.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Isto é falso para qualquer valor x.

$$x\in \emptyset$$

Consideremos o caso em que x-\left(3-\sqrt{2}\right) é positivo e x-\left(\sqrt{2}+3\right) é negativo.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$