Resolver (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Resolver o valor x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Passos Para a Resolução

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, -4 por b e -3 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Resolva a equação x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

Para que o produto seja ≥0, x-\left(\sqrt{7}+2\right) e x-\left(2-\sqrt{7}\right) têm de ser ≤0 ou ambos ≥0. Considere o caso quando x-\left(\sqrt{7}+2\right) e x-\left(2-\sqrt{7}\right) são ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Considere o caso quando x-\left(\sqrt{7}+2\right) e x-\left(2-\sqrt{7}\right) são ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$