Resolver (x-1)^3=x^2(x-1)-(x+3)(x-2)-19

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = x ^ { 2 } ( x - 1 ) - ( x + 3 ) ( x - 2 ) - 19$$

Resolva para x

$$x=-2$$

$$x=6$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} para expandir \left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{2}\left(x-1\right)-\left(x+3\right)\left(x-2\right)-19$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2} por x-1.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-x^{2}-\left(x+3\right)\left(x-2\right)-19$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+3 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-x^{2}-\left(x^{2}+x-6\right)-19$$

Para calcular o oposto de x^{2}+x-6, calcule o oposto de cada termo.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-x^{2}-x^{2}-x+6-19$$

Combine -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-2x^{2}-x+6-19$$

Subtraia 19 de 6 para obter -13.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-2x^{2}-x-13$$

Subtraia x^{3} de ambos os lados.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-x^{3}=-2x^{2}-x-13$$

Combine x^{3} e -x^{3} para obter 0.

$$-3x^{2}+3x-1=-2x^{2}-x-13$$

Adicionar 2x^{2} em ambos os lados.

$$-3x^{2}+3x-1+2x^{2}=-x-13$$

Combine -3x^{2} e 2x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+3x-1=-x-13$$

Adicionar x em ambos os lados.

$$-x^{2}+3x-1+x=-13$$

Combine 3x e x para obter 4x.

$$-x^{2}+4x-1=-13$$

Adicionar 13 em ambos os lados.

$$-x^{2}+4x-1+13=0$$

Some -1 e 13 para obter 12.

$$-x^{2}+4x+12=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+12. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=4 ab=-12=-12$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

A solução é o par que devolve a soma 4.

$$a=6 b=-2$$

Reescreva -x^{2}+4x+12 como \left(-x^{2}+6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

Fator out -x no primeiro e -2 no segundo grupo.

$$-x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

Decomponha o termo comum x-6 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(-x-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-6=0 e -x-2=0.

$$x=6 x=-2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} para expandir \left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{2}\left(x-1\right)-\left(x+3\right)\left(x-2\right)-19$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2} por x-1.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-x^{2}-\left(x+3\right)\left(x-2\right)-19$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+3 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-x^{2}-\left(x^{2}+x-6\right)-19$$

Para calcular o oposto de x^{2}+x-6, calcule o oposto de cada termo.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-x^{2}-x^{2}-x+6-19$$

Combine -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-2x^{2}-x+6-19$$

Subtraia 19 de 6 para obter -13.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-2x^{2}-x-13$$

Subtraia x^{3} de ambos os lados.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-x^{3}=-2x^{2}-x-13$$

Combine x^{3} e -x^{3} para obter 0.

$$-3x^{2}+3x-1=-2x^{2}-x-13$$

Adicionar 2x^{2} em ambos os lados.

$$-3x^{2}+3x-1+2x^{2}=-x-13$$

Combine -3x^{2} e 2x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+3x-1=-x-13$$

Adicionar x em ambos os lados.

$$-x^{2}+3x-1+x=-13$$

Combine 3x e x para obter 4x.

$$-x^{2}+4x-1=-13$$

Adicionar 13 em ambos os lados.

$$-x^{2}+4x-1+13=0$$

Some -1 e 13 para obter 12.

$$-x^{2}+4x+12=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 4 por b e 12 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\left(-1\right)}$$

Some 16 com 48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 64.

$$x=\frac{-4±8}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{-4±8}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4±8}{-2} quando ± for uma adição. Some -4 com 8.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Divida 4 por -2.

$$x=-2$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4±8}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 8 de -4.

$$x=-\frac{12}{-2}$$

Divida -12 por -2.

$$x=6$$

A equação está resolvida.

$$x=-2 x=6$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} para expandir \left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{2}\left(x-1\right)-\left(x+3\right)\left(x-2\right)-19$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2} por x-1.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-x^{2}-\left(x+3\right)\left(x-2\right)-19$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+3 por x-2 e combinar termos semelhantes.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-x^{2}-\left(x^{2}+x-6\right)-19$$

Para calcular o oposto de x^{2}+x-6, calcule o oposto de cada termo.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-x^{2}-x^{2}-x+6-19$$

Combine -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-2x^{2}-x+6-19$$

Subtraia 19 de 6 para obter -13.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-2x^{2}-x-13$$

Subtraia x^{3} de ambos os lados.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-x^{3}=-2x^{2}-x-13$$

Combine x^{3} e -x^{3} para obter 0.

$$-3x^{2}+3x-1=-2x^{2}-x-13$$

Adicionar 2x^{2} em ambos os lados.

$$-3x^{2}+3x-1+2x^{2}=-x-13$$

Combine -3x^{2} e 2x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+3x-1=-x-13$$

Adicionar x em ambos os lados.

$$-x^{2}+3x-1+x=-13$$

Combine 3x e x para obter 4x.

$$-x^{2}+4x-1=-13$$

Adicionar 1 em ambos os lados.

$$-x^{2}+4x=-13+1$$

Some -13 e 1 para obter -12.

$$-x^{2}+4x=-12$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Divida 4 por -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{12}{-1}$$

Divida -12 por -1.

$$x^{2}-4x=12$$

Divida -4, o coeficiente do termo x, 2 para obter -2. Em seguida, adicione o quadrado de -2 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=12+\left(-2\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$x^{2}-4x+4=12+4$$

Some 12 com 4.

$$x^{2}-4x+4=16$$

Fatorize x^{2}-4x+4. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=16$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplifique.

$$x-2=4 x-2=-4$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$x=6 x=-2$$