Resolver (x-1)^2+(x+2)^2-(x-3)(x+3)=22

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( x + 2 ) ^ { 2 } - ( x - 3 ) ( x + 3 ) = 22$$

Resolva para x

$$x=-4$$

$$x=2$$

Passos com a Fatorização

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combine -2x e 4x para obter 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Some 1 e 4 para obter 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Considere \left(x-3\right)\left(x+3\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calcule o quadrado de 3.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Para calcular o oposto de x^{2}-9, calcule o oposto de cada termo.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Combine 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Some 5 e 9 para obter 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Subtraia 22 de ambos os lados.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Subtraia 22 de 14 para obter -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Para resolver a equação, o fator x^{2}+2x-8 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=2 ab=-8$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

A solução é o par que devolve a soma 2.

$$a=-2 b=4$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-2=0 e x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combine -2x e 4x para obter 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Some 1 e 4 para obter 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Considere \left(x-3\right)\left(x+3\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calcule o quadrado de 3.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Para calcular o oposto de x^{2}-9, calcule o oposto de cada termo.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Combine 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Some 5 e 9 para obter 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Subtraia 22 de ambos os lados.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Subtraia 22 de 14 para obter -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-8. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=2 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

A solução é o par que devolve a soma 2.

$$a=-2 b=4$$

Reescreva x^{2}+2x-8 como \left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right)$$

Fator out x no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Decomponha o termo comum x-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-2=0 e x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combine -2x e 4x para obter 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Some 1 e 4 para obter 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Considere \left(x-3\right)\left(x+3\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calcule o quadrado de 3.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Para calcular o oposto de x^{2}-9, calcule o oposto de cada termo.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Combine 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Some 5 e 9 para obter 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Subtraia 22 de ambos os lados.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Subtraia 22 de 14 para obter -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, 2 por b e -8 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-8\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-8\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+32}}{2}$$

Some 4 com 32.

$$x=\frac{-2±\sqrt{36}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 36.

$$x=\frac{-2±6}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2±6}{2} quando ± for uma adição. Some -2 com 6.

$$x=\frac{4}{2}$$

Divida 4 por 2.

$$x=2$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2±6}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 6 de -2.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Divida -8 por 2.

$$x=-4$$

A equação está resolvida.

$$x=2 x=-4$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combine -2x e 4x para obter 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Some 1 e 4 para obter 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Considere \left(x-3\right)\left(x+3\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calcule o quadrado de 3.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Para calcular o oposto de x^{2}-9, calcule o oposto de cada termo.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Combine 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Some 5 e 9 para obter 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Subtraia 14 de ambos os lados.

$$x^{2}+2x=22-14$$

Subtraia 14 de 22 para obter 8.

$$x^{2}+2x=8$$

Divida 2, o coeficiente do termo x, 2 para obter 1. Em seguida, adicione o quadrado de 1 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+2x+1^{2}=8+1^{2}$$

Calcule o quadrado de 1.

$$x^{2}+2x+1=8+1$$

Some 8 com 1.

$$x^{2}+2x+1=9$$

Fatorize x^{2}+2x+1. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=9$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifique.

$$x+1=3 x+1=-3$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$x=2 x=-4$$