Resolver (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Resolva para x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combine x^{2} e 4x^{2} para obter 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combine -2x e 8x para obter 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Some 1 e 4 para obter 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Subtraia 16 de ambos os lados.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Subtraia 16 de 5 para obter -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 5x^{2}+ax+bx-11. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -55.

$$-1,55 -5,11$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

A solução é o par que devolve a soma 6.

$$a=-5 b=11$$

Reescreva 5x^{2}+6x-11 como \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Fator out 5x no primeiro e 11 no segundo grupo.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Decomponha o termo comum x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-1=0 e 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combine x^{2} e 4x^{2} para obter 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combine -2x e 8x para obter 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Some 1 e 4 para obter 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Subtraia 16 de ambos os lados.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Subtraia 16 de 5 para obter -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 5 por a, 6 por b e -11 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Calcule o quadrado de 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -4 vezes 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -20 vezes -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Some 36 com 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Calcule a raiz quadrada de 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Multiplique 2 vezes 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-6±16}{10} quando ± for uma adição. Some -6 com 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Divida 10 por 10.

$$x=1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-6±16}{10} quando ± for uma subtração. Subtraia 16 de -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Reduza a fração \frac{-22}{10} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

A equação está resolvida.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combine x^{2} e 4x^{2} para obter 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combine -2x e 8x para obter 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Some 1 e 4 para obter 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Subtraia 5 de ambos os lados.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Subtraia 5 de 16 para obter 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Divida ambos os lados por 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Dividir por 5 anula a multiplicação por 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Divida \frac{6}{5}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{3}{5}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{3}{5} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{3}{5}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Some \frac{11}{5} com \frac{9}{25} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Fatorize x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Subtraia \frac{3}{5} de ambos os lados da equação.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$