Resolver (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Resolva para v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Subtraia 2v^{2} de ambos os lados.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combine v^{2} e -2v^{2} para obter -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Subtraia 2v de ambos os lados.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combine 8v e -2v para obter 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Subtraia 9 de ambos os lados.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Subtraia 9 de 16 para obter 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -v^{2}+av+bv+7. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. O único par é a solução do sistema.

$$a=7 b=-1$$

Reescreva -v^{2}+6v+7 como \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Fator out -v no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Decomponha o termo comum v-7 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva v-7=0 e -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Subtraia 2v^{2} de ambos os lados.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combine v^{2} e -2v^{2} para obter -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Subtraia 2v de ambos os lados.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combine 8v e -2v para obter 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Subtraia 9 de ambos os lados.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Subtraia 9 de 16 para obter 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 6 por b e 7 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 6.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Some 36 com 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Agora, resolva a equação v=\frac{-6±8}{-2} quando ± for uma adição. Some -6 com 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Divida 2 por -2.

$$v=-1$$

Agora, resolva a equação v=\frac{-6±8}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 8 de -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Divida -14 por -2.

$$v=7$$

A equação está resolvida.

$$v=-1 v=7$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Subtraia 2v^{2} de ambos os lados.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combine v^{2} e -2v^{2} para obter -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Subtraia 2v de ambos os lados.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combine 8v e -2v para obter 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Subtraia 16 de ambos os lados.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Subtraia 16 de 9 para obter -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Divida 6 por -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Divida -7 por -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Divida -6, o coeficiente do termo x, 2 para obter -3. Em seguida, adicione o quadrado de -3 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -3.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Some 7 com 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Fatorize v^{2}-6v+9. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplifique.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$v=7 v=-1$$