Resolver (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Resolver o valor x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Some 81 e 162 para obter 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Combine -90x e -180x para obter -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Combine 25x^{2} e 50x^{2} para obter 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Subtraia 24 de 243 para obter 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 75 por a, -270 por b e 219 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Resolva a equação x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Para que o produto seja negativo, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} e x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} têm de ser dos sinais opostos. Consideremos o caso em que x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} é positivo e x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} é negativo.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Isto é falso para qualquer valor x.

$$x\in \emptyset$$

Consideremos o caso em que x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} é positivo e x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} é negativo.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$