Resolver (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Resolva para x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considere \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calcule o quadrado de 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expanda \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Para calcular o oposto de 4x^{2}-1, calcule o oposto de cada termo.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combine 25x^{2} e -4x^{2} para obter 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Some 4 e 1 para obter 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtraia 47 de ambos os lados.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Subtraia 47 de 5 para obter -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Subtraia x de ambos os lados.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combine -20x e -x para obter -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Divida ambos os lados por 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-2. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. O único par é a solução do sistema.

$$a=-2 b=1$$

Reescreva x^{2}-x-2 como \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Decomponha x em x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Decomponha o termo comum x-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-2=0 e x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considere \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calcule o quadrado de 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expanda \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Para calcular o oposto de 4x^{2}-1, calcule o oposto de cada termo.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combine 25x^{2} e -4x^{2} para obter 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Some 4 e 1 para obter 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtraia 47 de ambos os lados.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Subtraia 47 de 5 para obter -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Subtraia x de ambos os lados.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combine -20x e -x para obter -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 21 por a, -21 por b e -42 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Calcule o quadrado de -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplique -4 vezes 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplique -84 vezes -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Some 441 com 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Calcule a raiz quadrada de 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

O oposto de -21 é 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Multiplique 2 vezes 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{21±63}{42} quando ± for uma adição. Some 21 com 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Divida 84 por 42.

$$x=2$$

Agora, resolva a equação x=\frac{21±63}{42} quando ± for uma subtração. Subtraia 63 de 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Divida -42 por 42.

$$x=-1$$

A equação está resolvida.

$$x=2 x=-1$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considere \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calcule o quadrado de 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expanda \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Para calcular o oposto de 4x^{2}-1, calcule o oposto de cada termo.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combine 25x^{2} e -4x^{2} para obter 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Some 4 e 1 para obter 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtraia x de ambos os lados.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Combine -20x e -x para obter -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Subtraia 5 de ambos os lados.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Subtraia 5 de 47 para obter 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Divida ambos os lados por 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Dividir por 21 anula a multiplicação por 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Divida -21 por 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Divida 42 por 21.

$$x^{2}-x=2$$

Divida -1, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Some 2 com \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Fatorize x^{2}-x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Some \frac{1}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=2 x=-1$$