Resolver (4k+2)^2-20(k^2+1)=0

$$( 4 k + 2 ) ^ { 2 } - 20 ( k ^ { 2 } + 1 ) = 0$$

Resolva para k

$$k=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4k+2\right)^{2}.

$$16k^{2}+16k+4-20\left(k^{2}+1\right)=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -20 por k^{2}+1.

$$16k^{2}+16k+4-20k^{2}-20=0$$

Combine 16k^{2} e -20k^{2} para obter -4k^{2}.

$$-4k^{2}+16k+4-20=0$$

Subtraia 20 de 4 para obter -16.

$$-4k^{2}+16k-16=0$$

Divida ambos os lados por 4.

$$-k^{2}+4k-4=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -k^{2}+ak+bk-4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=4 ab=-\left(-4\right)=4$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 4.

$$1,4 2,2$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+4=5 2+2=4$$

A solução é o par que devolve a soma 4.

$$a=2 b=2$$

Reescreva -k^{2}+4k-4 como \left(-k^{2}+2k\right)+\left(2k-4\right).

$$\left(-k^{2}+2k\right)+\left(2k-4\right)$$

Fator out -k no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$-k\left(k-2\right)+2\left(k-2\right)$$

Decomponha o termo comum k-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(k-2\right)\left(-k+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva k-2=0 e -k+2=0.

$$k=2 k=2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4k+2\right)^{2}.

$$16k^{2}+16k+4-20\left(k^{2}+1\right)=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -20 por k^{2}+1.

$$16k^{2}+16k+4-20k^{2}-20=0$$

Combine 16k^{2} e -20k^{2} para obter -4k^{2}.

$$-4k^{2}+16k+4-20=0$$

Subtraia 20 de 4 para obter -16.

$$-4k^{2}+16k-16=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -4 por a, 16 por b e -16 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-4\right)\left(-16\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Calcule o quadrado de 16.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-4\right)\left(-16\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplique -4 vezes -4.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256+16\left(-16\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplique 16 vezes -16.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-256}}{2\left(-4\right)}$$

Some 256 com -256.

$$k=\frac{-16±\sqrt{0}}{2\left(-4\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$k=-\frac{16}{2\left(-4\right)}$$

Multiplique 2 vezes -4.

$$k=-\frac{16}{-8}$$

Divida -16 por -8.

$$k=2$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4k+2\right)^{2}.

$$16k^{2}+16k+4-20\left(k^{2}+1\right)=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -20 por k^{2}+1.

$$16k^{2}+16k+4-20k^{2}-20=0$$

Combine 16k^{2} e -20k^{2} para obter -4k^{2}.

$$-4k^{2}+16k+4-20=0$$

Subtraia 20 de 4 para obter -16.

$$-4k^{2}+16k-16=0$$

Adicionar 16 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$-4k^{2}+16k=16$$

Divida ambos os lados por -4.

$$\frac{-4k^{2}+16k}{-4}=\frac{16}{-4}$$

Dividir por -4 anula a multiplicação por -4.

$$k^{2}+\frac{16}{-4}k=\frac{16}{-4}$$

Divida 16 por -4.

$$k^{2}-4k=\frac{16}{-4}$$

Divida 16 por -4.

$$k^{2}-4k=-4$$

Divida -4, o coeficiente do termo x, 2 para obter -2. Em seguida, adicione o quadrado de -2 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$k^{2}-4k+\left(-2\right)^{2}=-4+\left(-2\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$k^{2}-4k+4=-4+4$$

Some -4 com 4.

$$k^{2}-4k+4=0$$

Fatorize k^{2}-4k+4. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-2\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(k-2\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$k-2=0 k-2=0$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$k=2 k=2$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$k=2$$