Resolver (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Resolva para x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Multiplique ambos os lados da equação por 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplique 16 e 3 para obter 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Anule o maior fator comum 2 em 8 e 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a uma potência, eleve o numerador e o denominador a uma potência e, em seguida, divida.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. Multiplique 48 vezes \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Uma vez que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} e \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} têm o mesmo denominador, some-os ao somar os respetivos numeradores.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplique 48 e 4 para obter 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expanda \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresse 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} como uma fração única.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anule 4 e 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplique 16 e 3 para obter 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combine x^{2}\times 3 e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Subtraia 624 de ambos os lados.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Subtraia 624 de 192 para obter -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Divida ambos os lados por 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-108. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

A solução é o par que devolve a soma 12.

$$a=-6 b=18$$

Reescreva x^{2}+12x-108 como \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Fator out x no primeiro e 18 no segundo grupo.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Decomponha o termo comum x-6 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-6=0 e x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Multiplique ambos os lados da equação por 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplique 16 e 3 para obter 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Anule o maior fator comum 2 em 8 e 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a uma potência, eleve o numerador e o denominador a uma potência e, em seguida, divida.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. Multiplique 48 vezes \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Uma vez que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} e \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} têm o mesmo denominador, some-os ao somar os respetivos numeradores.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplique 48 e 4 para obter 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expanda \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresse 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} como uma fração única.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anule 4 e 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplique 16 e 3 para obter 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combine x^{2}\times 3 e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Subtraia 624 de ambos os lados.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Subtraia 624 de 192 para obter -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, 48 por b e -432 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Some 2304 com 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-48±96}{8} quando ± for uma adição. Some -48 com 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Divida 48 por 8.

$$x=6$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-48±96}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 96 de -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Divida -144 por 8.

$$x=-18$$

A equação está resolvida.

$$x=6 x=-18$$

Passos Para Completar o Quadrado

Multiplique ambos os lados da equação por 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplique 16 e 3 para obter 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Anule o maior fator comum 2 em 8 e 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a uma potência, eleve o numerador e o denominador a uma potência e, em seguida, divida.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. Multiplique 48 vezes \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Uma vez que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} e \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} têm o mesmo denominador, some-os ao somar os respetivos numeradores.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplique 48 e 4 para obter 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expanda \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresse 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} como uma fração única.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anule 4 e 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplique 16 e 3 para obter 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combine x^{2}\times 3 e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Subtraia 192 de ambos os lados.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Subtraia 192 de 624 para obter 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Divida 48 por 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Divida 432 por 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Divida 12, o coeficiente do termo x, 2 para obter 6. Em seguida, adicione o quadrado de 6 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Calcule o quadrado de 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Some 108 com 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Fatorize x^{2}+12x+36. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Simplifique.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$x=6 x=-18$$