Resolver (3t-8)^2-16=0

$$( 3 t - 8 ) ^ { 2 } - 16 = 0$$

Resolva para t

$$t=4$$

$$t = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3t-8\right)^{2}.

$$9t^{2}-48t+64-16=0$$

Subtraia 16 de 64 para obter 48.

$$9t^{2}-48t+48=0$$

Divida ambos os lados por 3.

$$3t^{2}-16t+16=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3t^{2}+at+bt+16. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-16 ab=3\times 16=48$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

A solução é o par que devolve a soma -16.

$$a=-12 b=-4$$

Reescreva 3t^{2}-16t+16 como \left(3t^{2}-12t\right)+\left(-4t+16\right).

$$\left(3t^{2}-12t\right)+\left(-4t+16\right)$$

Fator out 3t no primeiro e -4 no segundo grupo.

$$3t\left(t-4\right)-4\left(t-4\right)$$

Decomponha o termo comum t-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(t-4\right)\left(3t-4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva t-4=0 e 3t-4=0.

$$t=4 t=\frac{4}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3t-8\right)^{2}.

$$9t^{2}-48t+64-16=0$$

Subtraia 16 de 64 para obter 48.

$$9t^{2}-48t+48=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 9 por a, -48 por b e 48 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 9\times 48}}{2\times 9}$$

Calcule o quadrado de -48.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 9\times 48}}{2\times 9}$$

Multiplique -4 vezes 9.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-36\times 48}}{2\times 9}$$

Multiplique -36 vezes 48.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-1728}}{2\times 9}$$

Some 2304 com -1728.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Calcule a raiz quadrada de 576.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±24}{2\times 9}$$

O oposto de -48 é 48.

$$t=\frac{48±24}{2\times 9}$$

Multiplique 2 vezes 9.

$$t=\frac{48±24}{18}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{48±24}{18} quando ± for uma adição. Some 48 com 24.

$$t=\frac{72}{18}$$

Divida 72 por 18.

$$t=4$$

Agora, resolva a equação t=\frac{48±24}{18} quando ± for uma subtração. Subtraia 24 de 48.

$$t=\frac{24}{18}$$

Reduza a fração \frac{24}{18} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$t=\frac{4}{3}$$

A equação está resolvida.

$$t=4 t=\frac{4}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3t-8\right)^{2}.

$$9t^{2}-48t+64-16=0$$

Subtraia 16 de 64 para obter 48.

$$9t^{2}-48t+48=0$$

Subtraia 48 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$9t^{2}-48t=-48$$

Divida ambos os lados por 9.

$$\frac{9t^{2}-48t}{9}=-\frac{48}{9}$$

Dividir por 9 anula a multiplicação por 9.

$$t^{2}+\left(-\frac{48}{9}\right)t=-\frac{48}{9}$$

Reduza a fração \frac{-48}{9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t=-\frac{48}{9}$$

Reduza a fração \frac{-48}{9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t=-\frac{16}{3}$$

Divida -\frac{16}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{8}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{8}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{8}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t+\frac{64}{9}=-\frac{16}{3}+\frac{64}{9}$$

Some -\frac{16}{3} com \frac{64}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t+\frac{64}{9}=\frac{16}{9}$$

Fatorize t^{2}-\frac{16}{3}t+\frac{64}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Simplifique.

$$t-\frac{8}{3}=\frac{4}{3} t-\frac{8}{3}=-\frac{4}{3}$$

Some \frac{8}{3} a ambos os lados da equação.

$$t=4 t=\frac{4}{3}$$