Resolver (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Resolva para x

$$x=8$$

$$x=15$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calcule 17 elevado a 2 e obtenha 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtraia 289 de ambos os lados.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Subtraia 289 de 529 para obter 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Divida ambos os lados por 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx+120. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

A solução é o par que devolve a soma -23.

$$a=-15 b=-8$$

Reescreva x^{2}-23x+120 como \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Fator out x no primeiro e -8 no segundo grupo.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Decomponha o termo comum x-15 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-15=0 e x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calcule 17 elevado a 2 e obtenha 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtraia 289 de ambos os lados.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Subtraia 289 de 529 para obter 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, -46 por b e 240 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Some 2116 com -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

O oposto de -46 é 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{46±14}{4} quando ± for uma adição. Some 46 com 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Divida 60 por 4.

$$x=15$$

Agora, resolva a equação x=\frac{46±14}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 14 de 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Divida 32 por 4.

$$x=8$$

A equação está resolvida.

$$x=15 x=8$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calcule 17 elevado a 2 e obtenha 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtraia 529 de ambos os lados.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Subtraia 529 de 289 para obter -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Divida -46 por 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Divida -240 por 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Divida -23, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{23}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{23}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{23}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Some -120 com \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Fatorize x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Some \frac{23}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=15 x=8$$