Resolver (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Fatorizar

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Passos Para a Resolução

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como -10x^{2}+ax+bx+22. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

A solução é o par que devolve a soma 51.

$$a=55 b=-4$$

Reescreva -10x^{2}+51x+22 como \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Fator out -5x no primeiro e -2 no segundo grupo.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-11 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Calcule o quadrado de 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplique -4 vezes -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplique 40 vezes 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Some 2601 com 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Multiplique 2 vezes -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-51±59}{-20} quando ± for uma adição. Some -51 com 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Reduza a fração \frac{8}{-20} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-51±59}{-20} quando ± for uma subtração. Subtraia 59 de -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Reduza a fração \frac{-110}{-20} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua -\frac{2}{5} por x_{1} e \frac{11}{2} por x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Simplifique todas as expressões de p-\left(-q\right) para p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Some \frac{2}{5} com x ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Subtraia \frac{11}{2} de x ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Multiplique \frac{-5x-2}{-5} vezes \frac{-2x+11}{-2} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Multiplique -5 vezes -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Anule o maior fator comum 10 em -10 e 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Avaliar

$$22+51x-10x^{2}$$