Resolver (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Resolva para x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Para calcular o oposto de x^{2}+10x+25, calcule o oposto de cada termo.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combine 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combine -12x e -10x para obter -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtraia 25 de 9 para obter -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Adicionar 23 em ambos os lados.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Some -16 e 23 para obter 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx+7. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

A solução é o par que devolve a soma -22.

$$a=-21 b=-1$$

Reescreva 3x^{2}-22x+7 como \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Fator out 3x no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Decomponha o termo comum x-7 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-7=0 e 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Para calcular o oposto de x^{2}+10x+25, calcule o oposto de cada termo.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combine 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combine -12x e -10x para obter -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtraia 25 de 9 para obter -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Adicionar 23 em ambos os lados.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Some -16 e 23 para obter 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, -22 por b e 7 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Some 484 com -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

O oposto de -22 é 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{22±20}{6} quando ± for uma adição. Some 22 com 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Divida 42 por 6.

$$x=7$$

Agora, resolva a equação x=\frac{22±20}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 20 de 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Reduza a fração \frac{2}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Para calcular o oposto de x^{2}+10x+25, calcule o oposto de cada termo.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combine 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combine -12x e -10x para obter -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtraia 25 de 9 para obter -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Adicionar 16 em ambos os lados.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Some -23 e 16 para obter -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Divida -\frac{22}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{11}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{11}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{11}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Some -\frac{7}{3} com \frac{121}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Fatorize x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Some \frac{11}{3} a ambos os lados da equação.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$