Resolver (2x-1)^2-169=0

$$( 2 x - 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Resolva para x

$$x=7$$

$$x=-6$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-169=0$$

Subtraia 169 de 1 para obter -168.

$$4x^{2}-4x-168=0$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x^{2}-x-42=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-42. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=-7 b=6$$

Reescreva x^{2}-x-42 como \left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)$$

Fator out x no primeiro e 6 no segundo grupo.

$$x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Decomponha o termo comum x-7 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-7=0 e x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-169=0$$

Subtraia 169 de 1 para obter -168.

$$4x^{2}-4x-168=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -4 por b e -168 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-168\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-168\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-168\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -168.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+2688}}{2\times 4}$$

Some 16 com 2688.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 2704.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±52}{2\times 4}$$

O oposto de -4 é 4.

$$x=\frac{4±52}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{4±52}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{4±52}{8} quando ± for uma adição. Some 4 com 52.

$$x=\frac{56}{8}$$

Divida 56 por 8.

$$x=7$$

Agora, resolva a equação x=\frac{4±52}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 52 de 4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Divida -48 por 8.

$$x=-6$$

A equação está resolvida.

$$x=7 x=-6$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-169=0$$

Subtraia 169 de 1 para obter -168.

$$4x^{2}-4x-168=0$$

Adicionar 168 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$4x^{2}-4x=168$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{168}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{168}{4}$$

Divida -4 por 4.

$$x^{2}-x=\frac{168}{4}$$

Divida 168 por 4.

$$x^{2}-x=42$$

Divida -1, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Some 42 com \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Fatorize x^{2}-x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Some \frac{1}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=7 x=-6$$