Resolver (2x^3-4y^3)^2=dy

$$( 2 x ^ { 3 } - 4 y ^ { 3 } ) ^ { 2 } = d y$$

Resolva para d (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}d=\frac{4\left(x^{3}-2y^{3}\right)^{2}}{y}\text{, }&y\neq 0\\d\in \mathrm{C}\text{, }&x=0\text{ and }y=0\end{matrix}\right,$$

Passos Para Resolver Uma Equação Linear

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x^{3}-4y^{3}\right)^{2}.

$$4\left(x^{3}\right)^{2}-16x^{3}y^{3}+16\left(y^{3}\right)^{2}=dy$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 3 e 2 para obter 6.

$$4x^{6}-16x^{3}y^{3}+16\left(y^{3}\right)^{2}=dy$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 3 e 2 para obter 6.

$$4x^{6}-16x^{3}y^{3}+16y^{6}=dy$$

Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$dy=4x^{6}-16x^{3}y^{3}+16y^{6}$$

A equação está no formato padrão.

$$yd=4x^{6}-16x^{3}y^{3}+16y^{6}$$

Divida ambos os lados por y.

$$\frac{yd}{y}=\frac{4\left(x^{3}-2y^{3}\right)^{2}}{y}$$

Dividir por y anula a multiplicação por y.

$$d=\frac{4\left(x^{3}-2y^{3}\right)^{2}}{y}$$

Resolva para d

$$\left\{\begin{matrix}d=\frac{4\left(x^{3}-2y^{3}\right)^{2}}{y}\text{, }&y\neq 0\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ and }y=0\end{matrix}\right,$$

Passos Para Resolver Uma Equação Linear

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x^{3}-4y^{3}\right)^{2}.

$$4\left(x^{3}\right)^{2}-16x^{3}y^{3}+16\left(y^{3}\right)^{2}=dy$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 3 e 2 para obter 6.

$$4x^{6}-16x^{3}y^{3}+16\left(y^{3}\right)^{2}=dy$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 3 e 2 para obter 6.

$$4x^{6}-16x^{3}y^{3}+16y^{6}=dy$$

Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$dy=4x^{6}-16x^{3}y^{3}+16y^{6}$$

A equação está no formato padrão.

$$yd=4x^{6}-16x^{3}y^{3}+16y^{6}$$

Divida ambos os lados por y.

$$\frac{yd}{y}=\frac{4\left(x^{3}-2y^{3}\right)^{2}}{y}$$

Dividir por y anula a multiplicação por y.

$$d=\frac{4\left(x^{3}-2y^{3}\right)^{2}}{y}$$

Resolva para x (complex solution)

$$x\in \frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{y}\left(4y^{\frac{5}{2}}+\sqrt{d}\right)}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}e^{\frac{4\pi i}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{y}\left(4y^{\frac{5}{2}}+\sqrt{d}\right)}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}e^{\frac{2\pi i}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{y}\left(4y^{\frac{5}{2}}+\sqrt{d}\right)}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}e^{\frac{4\pi i}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{y}\left(4y^{\frac{5}{2}}-\sqrt{d}\right)}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{y}\left(4y^{\frac{5}{2}}-\sqrt{d}\right)}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}e^{\frac{2\pi i}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{y}\left(4y^{\frac{5}{2}}-\sqrt{d}\right)}}{2}$$

Resolva para x

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{4y^{3}-\sqrt{dy}}}{2}\text{; }x=\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{4y^{3}+\sqrt{dy}}}{2}\text{, }&d\leq 0\text{ and }y\leq 0\\x=\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[6]{y}\sqrt[3]{4y^{\frac{5}{2}}-\sqrt{d}}}{2}\text{; }x=\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[6]{y}\sqrt[3]{4y^{\frac{5}{2}}+\sqrt{d}}}{2}\text{, }&y\geq 0\text{ and }d\geq 0\end{matrix}\right,$$