Resolver (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Resolva para x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Calcule 100 elevado a 2 e obtenha 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Some 10000 e 10000 para obter 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combine x^{2} e -4x^{2} para obter -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Subtraia 400x de ambos os lados.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combine 200x e -400x para obter -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Subtraia 10000 de ambos os lados.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Subtraia 10000 de 20000 para obter 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -3x^{2}+ax+bx+10000. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

A solução é o par que devolve a soma -200.

$$a=100 b=-300$$

Reescreva -3x^{2}-200x+10000 como \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Fator out -x no primeiro e -100 no segundo grupo.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-100 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-100=0 e -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Calcule 100 elevado a 2 e obtenha 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Some 10000 e 10000 para obter 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combine x^{2} e -4x^{2} para obter -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Subtraia 400x de ambos os lados.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combine 200x e -400x para obter -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Subtraia 10000 de ambos os lados.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Subtraia 10000 de 20000 para obter 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -3 por a, -200 por b e 10000 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule o quadrado de -200.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique -4 vezes -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 12 vezes 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Some 40000 com 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

O oposto de -200 é 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 2 vezes -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{200±400}{-6} quando ± for uma adição. Some 200 com 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Divida 600 por -6.

$$x=-100$$

Agora, resolva a equação x=\frac{200±400}{-6} quando ± for uma subtração. Subtraia 400 de 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Reduza a fração \frac{-200}{-6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Calcule 100 elevado a 2 e obtenha 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Some 10000 e 10000 para obter 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combine x^{2} e -4x^{2} para obter -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Subtraia 400x de ambos os lados.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combine 200x e -400x para obter -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Subtraia 20000 de ambos os lados.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Subtraia 20000 de 10000 para obter -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Divida ambos os lados por -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Dividir por -3 anula a multiplicação por -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Divida -200 por -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Divida -10000 por -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Divida \frac{200}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{100}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{100}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{100}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Some \frac{10000}{3} com \frac{10000}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Fatorize x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Subtraia \frac{100}{3} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$