Resolver (sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})-(sqrt{6}+sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

Avaliar

$$-4\sqrt{3}-6\approx -12,92820323$$

Passos Para a Resolução

Considere \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

O quadrado de \sqrt{5} é 5.

$$5-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$5-3-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Subtraia 3 de 5 para obter 2.

$$2-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$2-\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

O quadrado de \sqrt{6} é 6.

$$2-\left(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Fatorize a expressão 6=2\times 3. Reescreva a raiz quadrada do produto \sqrt{2\times 3} como o produto de raízes quadradas \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$2-\left(6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplique \sqrt{2} e \sqrt{2} para obter 2.

$$2-\left(6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplique 2 e 2 para obter 4.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+2\right)$$

Some 6 e 2 para obter 8.

$$2-\left(8+4\sqrt{3}\right)$$

Para calcular o oposto de 8+4\sqrt{3}, calcule o oposto de cada termo.

$$2-8-4\sqrt{3}$$

Subtraia 8 de 2 para obter -6.

$$-6-4\sqrt{3}$$