Resolver y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Resolva para y

$$y=6$$

$$y=9$$

Passos com a Fatorização

Adicionar 54 em ambos os lados.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Para resolver a equação, o fator y^{2}-15y+54 utilizando a fórmula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-15 ab=54$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

A solução é o par que devolve a soma -15.

$$a=-9 b=-6$$

Reescreva a expressão \left(y+a\right)\left(y+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-9=0 e y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Adicionar 54 em ambos os lados.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como y^{2}+ay+by+54. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

A solução é o par que devolve a soma -15.

$$a=-9 b=-6$$

Reescreva y^{2}-15y+54 como \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Fator out y no primeiro e -6 no segundo grupo.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Decomponha o termo comum y-9 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-9=0 e y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$y^{2}-15y=-54$$

Some 54 a ambos os lados da equação.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Subtrair -54 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Subtraia -54 de 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -15 por b e 54 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Calcule o quadrado de -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Multiplique -4 vezes 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Some 225 com -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

O oposto de -15 é 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{15±3}{2} quando ± for uma adição. Some 15 com 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Divida 18 por 2.

$$y=9$$

Agora, resolva a equação y=\frac{15±3}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 3 de 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Divida 12 por 2.

$$y=6$$

A equação está resolvida.

$$y=9 y=6$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Divida -15, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{15}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{15}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{15}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Some -54 com \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Fatorize y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifique.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Some \frac{15}{2} a ambos os lados da equação.

$$y=9 y=6$$