Resolver x^4-7x^3+13x^2+23x-78=0

$${ x }^{ 4 } -7 { x }^{ 3 } +13 { x }^{ 2 } +23x-78 = 0$$

Resolva para x (complex solution)

$$x=-2$$

$$x=3$$

$$x=3-2i$$

$$x=3+2i$$

Passos Para a Resolução

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -78 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±78,±39,±26,±13,±6,±3,±2,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-2$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{4}-7x^{3}+13x^{2}+23x-78 por x+2 para obter x^{3}-9x^{2}+31x-39. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{3}-9x^{2}+31x-39=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -39 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±39,±13,±3,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=3$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{3}-9x^{2}+31x-39 por x-3 para obter x^{2}-6x+13. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{2}-6x+13=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, -6 por b e 13 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{6±\sqrt{-16}}{2}$$

Resolva a equação x^{2}-6x+13=0 quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=3-2i x=3+2i$$

Apresente todas as soluções encontradas.

$$x=-2 x=3 x=3-2i x=3+2i$$

Resolva para x

$$x=-2$$

$$x=3$$

Passos Para a Resolução

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -78 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±78,±39,±26,±13,±6,±3,±2,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-2$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{4}-7x^{3}+13x^{2}+23x-78 por x+2 para obter x^{3}-9x^{2}+31x-39. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{3}-9x^{2}+31x-39=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -39 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±39,±13,±3,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=3$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{3}-9x^{2}+31x-39 por x-3 para obter x^{2}-6x+13. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{2}-6x+13=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, -6 por b e 13 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{6±\sqrt{-16}}{2}$$

Uma vez que a raiz quadrada de um número negativo não está definida no campo real, não existem soluções.

$$x\in \emptyset$$

Apresente todas as soluções encontradas.

$$x=-2 x=3$$