Resolver x^4-18x^2+81

$${ x }^{ 4 } -18 { x }^{ 2 } +81$$

Fatorizar

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Passos Para a Resolução

Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$x^{4}-18x^{2}+81=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 81 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±81,±27,±9,±3,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=3$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{4}-18x^{2}+81 por x-3 para obter x^{3}+3x^{2}-9x-27. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$x^{3}+3x^{2}-9x-27=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -27 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±27,±9,±3,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=3$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{3}+3x^{2}-9x-27 por x-3 para obter x^{2}+6x+9. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$x^{2}+6x+9=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, 6 por b e 9 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{-6±0}{2}$$

As soluções são iguais.

$$x=-3$$

Reescreva a expressão fatorizada ao utilizar as raízes obtidas.

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Avaliar

$$\left(x^{2}-9\right)^{2}$$