Resolver x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Resolver o valor x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, -1 por b e -1 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Resolva a equação x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Para que o produto seja positivo, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} e x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} têm de ser negativos ou ambos positivos. Consideremos o caso em que x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} e x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} são ambos negativos.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Consideremos o caso em que x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} e x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} são ambos positivos.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$