Resolver x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Resolver o valor x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, -3 por b e 1 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Resolva a equação x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Para que o produto seja negativo, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} e x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} têm de ser dos sinais opostos. Consideremos o caso em que x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} é positivo e x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} é negativo.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Isto é falso para qualquer valor x.

$$x\in \emptyset$$

Consideremos o caso em que x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} é positivo e x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} é negativo.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$