Resolver x^2+2{left(sqrt{2}div2x-2sqrt{2}right)}^2=8

$${ x }^{ 2 } +2 { \left( \sqrt{ 2 } \div 2x-2 \sqrt{ 2 } \right) }^{ 2 } =8$$

Resolva para x

$$x=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Expresse \frac{\sqrt{2}}{2}x como uma fração única.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Para elevar \frac{\sqrt{2}x}{2} a uma potência, eleve o numerador e o denominador a uma potência e, em seguida, divida.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Anule o maior fator comum 2 em 4 e 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Multiplique 4 e 2 para obter 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Expanda \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Dividir 2x^{2} por 4 para obter \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Multiplique 2 e \frac{1}{2} para obter 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Multiplique -4 e 2 para obter -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Subtraia 8 de 16 para obter 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx+4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-4 ab=1\times 4=4$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

A solução é o par que devolve a soma -4.

$$a=-2 b=-2$$

Reescreva x^{2}-4x+4 como \left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Fator out x no primeiro e -2 no segundo grupo.

$$x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Decomponha o termo comum x-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x-2\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(x-2\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva x-2=0.

$$x=2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Expresse \frac{\sqrt{2}}{2}x como uma fração única.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Para elevar \frac{\sqrt{2}x}{2} a uma potência, eleve o numerador e o denominador a uma potência e, em seguida, divida.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Anule o maior fator comum 2 em 4 e 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Multiplique 4 e 2 para obter 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Expanda \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Dividir 2x^{2} por 4 para obter \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Multiplique 2 e \frac{1}{2} para obter 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Multiplique -4 e 2 para obter -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Subtraia 8 de 16 para obter 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, -8 por b e 8 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\times 8}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64}}{2\times 2}$$

Some 64 com -64.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$x=-\frac{-8}{2\times 2}$$

O oposto de -8 é 8.

$$x=\frac{8}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=\frac{8}{4}$$

Divida 8 por 4.

$$x=2$$

Passos Para Completar o Quadrado

Expresse \frac{\sqrt{2}}{2}x como uma fração única.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Para elevar \frac{\sqrt{2}x}{2} a uma potência, eleve o numerador e o denominador a uma potência e, em seguida, divida.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Anule o maior fator comum 2 em 4 e 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Multiplique 4 e 2 para obter 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Expanda \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Dividir 2x^{2} por 4 para obter \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Multiplique 2 e \frac{1}{2} para obter 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

O quadrado de \sqrt{2} é 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Multiplique -4 e 2 para obter -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Subtraia 16 de ambos os lados.

$$2x^{2}-8x=8-16$$

Subtraia 16 de 8 para obter -8.

$$2x^{2}-8x=-8$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=-\frac{8}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=-\frac{8}{2}$$

Divida -8 por 2.

$$x^{2}-4x=-\frac{8}{2}$$

Divida -8 por 2.

$$x^{2}-4x=-4$$

Divida -4, o coeficiente do termo x, 2 para obter -2. Em seguida, adicione o quadrado de -2 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-4+\left(-2\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$x^{2}-4x+4=-4+4$$

Some -4 com 4.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Fatorize x^{2}-4x+4. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$x-2=0 x-2=0$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$x=2 x=2$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$x=2$$