Resolver x^2+left(6+xright)^2=68

$${ x }^{ 2 } + { \left(6+x \right) }^{ 2 } = 68$$

Resolva para x

$$x=-8$$

$$x=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(6+x\right)^{2}.

$$x^{2}+36+12x+x^{2}=68$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}+36+12x=68$$

Subtraia 68 de ambos os lados.

$$2x^{2}+36+12x-68=0$$

Subtraia 68 de 36 para obter -32.

$$2x^{2}-32+12x=0$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x^{2}-16+6x=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$x^{2}+6x-16=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-16. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=6 ab=1\left(-16\right)=-16$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -16.

$$-1,16 -2,8 -4,4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+16=15 -2+8=6 -4+4=0$$

A solução é o par que devolve a soma 6.

$$a=-2 b=8$$

Reescreva x^{2}+6x-16 como \left(x^{2}-2x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(8x-16\right)$$

Fator out x no primeiro e 8 no segundo grupo.

$$x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Decomponha o termo comum x-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x+8\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-2=0 e x+8=0.

$$x=2 x=-8$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(6+x\right)^{2}.

$$x^{2}+36+12x+x^{2}=68$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}+36+12x=68$$

Subtraia 68 de ambos os lados.

$$2x^{2}+36+12x-68=0$$

Subtraia 68 de 36 para obter -32.

$$2x^{2}-32+12x=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2x^{2}+12x-32=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, 12 por b e -32 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -32.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+256}}{2\times 2}$$

Some 144 com 256.

$$x=\frac{-12±\sqrt{400}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 400.

$$x=\frac{-12±20}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=\frac{-12±20}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-12±20}{4} quando ± for uma adição. Some -12 com 20.

$$x=\frac{8}{4}$$

Divida 8 por 4.

$$x=2$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-12±20}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 20 de -12.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Divida -32 por 4.

$$x=-8$$

A equação está resolvida.

$$x=2 x=-8$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(6+x\right)^{2}.

$$x^{2}+36+12x+x^{2}=68$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}+36+12x=68$$

Subtraia 36 de ambos os lados.

$$2x^{2}+12x=68-36$$

Subtraia 36 de 68 para obter 32.

$$2x^{2}+12x=32$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=\frac{32}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=\frac{32}{2}$$

Divida 12 por 2.

$$x^{2}+6x=\frac{32}{2}$$

Divida 32 por 2.

$$x^{2}+6x=16$$

Divida 6, o coeficiente do termo x, 2 para obter 3. Em seguida, adicione o quadrado de 3 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+6x+3^{2}=16+3^{2}$$

Calcule o quadrado de 3.

$$x^{2}+6x+9=16+9$$

Some 16 com 9.

$$x^{2}+6x+9=25$$

Fatorize x^{2}+6x+9. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=25$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplifique.

$$x+3=5 x+3=-5$$

Subtraia 3 de ambos os lados da equação.

$$x=2 x=-8$$