Resolver x^2+left(-3x+10right)^2=20

$${ x }^{ 2 } + { \left(-3x+10 \right) }^{ 2 } =20$$

Resolva para x

$$x=2$$

$$x=4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Combine x^{2} e 9x^{2} para obter 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Subtraia 20 de ambos os lados.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Subtraia 20 de 100 para obter 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Divida ambos os lados por 10.

$$x^{2}-6x+8=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx+8. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-6 ab=1\times 8=8$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

A solução é o par que devolve a soma -6.

$$a=-4 b=-2$$

Reescreva x^{2}-6x+8 como \left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right)$$

Fator out x no primeiro e -2 no segundo grupo.

$$x\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)$$

Decomponha o termo comum x-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-4=0 e x-2=0.

$$x=4 x=2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Combine x^{2} e 9x^{2} para obter 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Subtraia 20 de ambos os lados.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Subtraia 20 de 100 para obter 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 10 por a, -60 por b e 80 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Calcule o quadrado de -60.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Multiplique -4 vezes 10.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-40\times 80}}{2\times 10}$$

Multiplique -40 vezes 80.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3200}}{2\times 10}$$

Some 3600 com -3200.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{400}}{2\times 10}$$

Calcule a raiz quadrada de 400.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±20}{2\times 10}$$

O oposto de -60 é 60.

$$x=\frac{60±20}{2\times 10}$$

Multiplique 2 vezes 10.

$$x=\frac{60±20}{20}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{60±20}{20} quando ± for uma adição. Some 60 com 20.

$$x=\frac{80}{20}$$

Divida 80 por 20.

$$x=4$$

Agora, resolva a equação x=\frac{60±20}{20} quando ± for uma subtração. Subtraia 20 de 60.

$$x=\frac{40}{20}$$

Divida 40 por 20.

$$x=2$$

A equação está resolvida.

$$x=4 x=2$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Combine x^{2} e 9x^{2} para obter 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Subtraia 100 de ambos os lados.

$$10x^{2}-60x=20-100$$

Subtraia 100 de 20 para obter -80.

$$10x^{2}-60x=-80$$

Divida ambos os lados por 10.

$$\frac{10x^{2}-60x}{10}=-\frac{80}{10}$$

Dividir por 10 anula a multiplicação por 10.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{10}\right)x=-\frac{80}{10}$$

Divida -60 por 10.

$$x^{2}-6x=-\frac{80}{10}$$

Divida -80 por 10.

$$x^{2}-6x=-8$$

Divida -6, o coeficiente do termo x, 2 para obter -3. Em seguida, adicione o quadrado de -3 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-8+\left(-3\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -3.

$$x^{2}-6x+9=-8+9$$

Some -8 com 9.

$$x^{2}-6x+9=1$$

Fatorize x^{2}-6x+9. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=1$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifique.

$$x-3=1 x-3=-1$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$x=4 x=2$$