Resolver {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Avaliar

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Passos Para a Resolução

Racionalize o denominador de \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} ao multiplicar o numerador e o denominador por \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Considere \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \sqrt{3}. Calcule o quadrado de 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Subtraia 1 de 3 para obter 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multiplique \sqrt{3}+1 e \sqrt{3}+1 para obter \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Some 3 e 1 para obter 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Divida cada termo de 4+2\sqrt{3} por 2 para obter 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Some 4 e 3 para obter 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Expandir

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Passos Para a Resolução

Racionalize o denominador de \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} ao multiplicar o numerador e o denominador por \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Considere \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \sqrt{3}. Calcule o quadrado de 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Subtraia 1 de 3 para obter 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multiplique \sqrt{3}+1 e \sqrt{3}+1 para obter \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Some 3 e 1 para obter 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Divida cada termo de 4+2\sqrt{3} por 2 para obter 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Some 4 e 3 para obter 7.

$$7+4\sqrt{3}$$