Resolver left(u+1right)^2=2u^2+5u+3

$${ \left( u+1 \right) }^{ 2 } =2 { u }^{ 2 } +5u+3$$

Resolva para u

$$u=-1$$

$$u=-2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Subtraia 2u^{2} de ambos os lados.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Combine u^{2} e -2u^{2} para obter -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Subtraia 5u de ambos os lados.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Combine 2u e -5u para obter -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Subtraia 3 de ambos os lados.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Subtraia 3 de 1 para obter -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -u^{2}+au+bu-2. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são negativos. O único par é a solução do sistema.

$$a=-1 b=-2$$

Reescreva -u^{2}-3u-2 como \left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right).

$$\left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right)$$

Decomponha u no primeiro grupo e 2 no segundo.

$$u\left(-u-1\right)+2\left(-u-1\right)$$

Decomponha o termo comum -u-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-u-1\right)\left(u+2\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione -u-1=0 e u+2=0.

$$u=-1 u=-2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Subtraia 2u^{2} de ambos os lados.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Combine u^{2} e -2u^{2} para obter -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Subtraia 5u de ambos os lados.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Combine 2u e -5u para obter -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Subtraia 3 de ambos os lados.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Subtraia 3 de 1 para obter -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, -3 por b e -2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de -3.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes -2.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

Some 9 com -8.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

O oposto de -3 é 3.

$$u=\frac{3±1}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$u=\frac{3±1}{-2}$$

Agora, resolva a equação u=\frac{3±1}{-2} quando ± for uma adição. Some 3 com 1.

$$u=\frac{4}{-2}$$

Divida 4 por -2.

$$u=-2$$

Agora, resolva a equação u=\frac{3±1}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 1 de 3.

$$u=\frac{2}{-2}$$

Divida 2 por -2.

$$u=-1$$

A equação está resolvida.

$$u=-2 u=-1$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Subtraia 2u^{2} de ambos os lados.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Combine u^{2} e -2u^{2} para obter -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Subtraia 5u de ambos os lados.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Combine 2u e -5u para obter -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Subtraia 1 de ambos os lados.

$$-u^{2}-3u=3-1$$

Subtraia 1 de 3 para obter 2.

$$-u^{2}-3u=2$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-u^{2}-3u}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$u^{2}+\left(-\frac{3}{-1}\right)u=\frac{2}{-1}$$

Divida -3 por -1.

$$u^{2}+3u=\frac{2}{-1}$$

Divida 2 por -1.

$$u^{2}+3u=-2$$

Divida 3, o coeficiente do termo x, por 2 para obter \frac{3}{2}. Em seguida, some o quadrado de \frac{3}{2} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$u^{2}+3u+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Some -2 com \frac{9}{4}.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Fatorize u^{2}+3u+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifique.

$$u+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} u+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Subtraia \frac{3}{2} de ambos os lados da equação.

$$u=-1 u=-2$$